博弈论之Nim游戏

•Nim游戏的形式：n堆石子（第i堆有a_i个石子），两人轮流取。每人每次选其中一堆取走任意多个石子（最少一个），无可取者失败。

•结果：当且仅当

时，先手必败（⊕为异或和，下同）。其它情况下先手必胜。

•策略：游戏的结束状态（石子全部取完）时总体异或和为零，先手失败。未结束时，若总异或和不为零，先手每次选取石子最多的一堆，取剩至数量等于其余石堆的异或和，将总异或和置为零即可；若总异或和为零，无论先手方如何选取，所取的堆石子数必然会从等量于其余石堆的异或和减少，使总异或和不为零。

Nim游戏其实就是取石头，然后今天做了一道这样的题目，是nim游戏的变种。

题目来源 hdu1730 North cott Game

Tom和Jerry正在玩一种Northcott游戏，可是Tom老是输，因此他怀疑这个游戏是不是有某种必胜策略，郁闷的Tom现在向你求救了，你能帮帮他么？
游戏规则是这样的：
　　如图所示，游戏在一个n行m列（1 ≤ n ≤ 1000且2 ≤ m ≤ 100）的棋盘上进行，每行有一个黑子（黑方）和一个白子（白方）。执黑的一方先行，每次玩家可以移动己方的任何一枚棋子到同一行的任何一个空格上，当然这过程中不许越过该行的敌方棋子。双方轮流移动，直到某一方无法行动为止，移动最后一步的玩家获胜。Tom总是先下（黑方）。

图1是某个初始局面，图二是Tom移动一个棋子后的局面（第一行的黑子左移两步）。

Input
　　输入数据有多组。每组数据第一行为两个整数n和m，由空格分开。接下来有n行，每行两个数Ti，Ji (1 ≤ Ti, Ji ≤ m)分别表示Tom和Jerry在该行棋子所处的列数。
　　注意：各组测试数据之间有不定数量的空行。你必须处理到文件末。
Output
对于每组测试数据输出一行你的结果。如果当前局面下Tom有必胜策略则输出“I WIN!”，否则输出“BAD LUCK!”。
Sample Input
3 6
4 5
1 2
1 2

3 6
4 5
1 3
1 2
Sample Output
BAD LUCK!
I WIN!

其实画一画这个题的图，就可以发现，在双方的棋子已经全部贴在一起的情况下，那么这时候先走的一方必定输。因为另一方可以把他逼入死角。

那么问题就转化成了，把最开始的棋局转化成贴紧的棋局的问题。那么就可以把两个棋子之间的空格比作nim游戏的石头，然后再用Nim的方法来求解。当把石头拿完的时候，最后拿的那个人就赢了。

然后就是代码了，代码很简单

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n, m;
    while (cin >> n >> m)
    {
        int cnt = 0; //空格的异或和

        int t, j;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            cin >> t >> j;
            cnt^=(abs(t-j)-1);
//求异或和
        }
        if (cnt ==0)
            cout << "BAD LUCK!" << endl;
        else
            cout << "I WIN!" << endl;
    }
}

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